Milenijumski problem: Zadatak od milion dolara

Nauka nije takmičenje, ali neka vrsta vrednovanja, javnog priznanja, pa i nadmetanja nesumnjivo doprinosi njenoj popularizaciji. Najpoznatiji i najznačajniji takav primer je Nobelova nagrada, a u poslednje vreme svojom atraktivnošću veliku pažnju privlače takozvani Milenijumski problemi u matematici.

Jedan od njih ovih dana je vraćen u fokus. Reč je o Navije-Stoksovim jednačinama za koje se veruje da ih je rešio najnoviji model veštačke inteligencije.

Sedam posebnih zadataka

Ideja o isticanju nekolicine teških, a važnih pitanja iz matematike došla je sa Klejovog matematičkog instituta. Na skupu u Parizu maja 2000. godine ova organizacija izdvojila je sedam nerešenih problema iz različitih oblasti matematike. Stručnjaci Klejovog instituta ocenili su da ove ideje decenijama ili vekovima zaustavljaju napredak u važnim pravcima matematike. Sa druge strane, hteli su da javnost podsete da ova nauka nije završena građevina u kojoj su svi odgovori već poznati, već da nas i dalje, uz sav napredak nauke, čekaju saznanja koja tek treba da budu otkrivena.

Popularnosti ove akcije doprinela je već sama definicija „milenijumskih problema“, ali ništa manje i atraktivan motiv. Za razrešenje svakog od spornih matematičkih pitanja obećana je nagrada od milion dolara za koju ne postoji vremensko ograničenje.

Listu Milenijumskih problema formirao je Naučni savet Klejovog instituta u konsultaciji sa drugim značajnim matematičarima, od zadataka, teorema i pitanja koje su naučnici postavljali decenijama ili čak vekovima unazad. Nagradu je obezbedio američki biznismen i filantrop Lendon Klej, osnivač Klejovog instituta.

Na milenijumskoj listi je sedam matematičkih problema. Jedan od njih je zvanično rešen, ostali su formalni i dalje zagonetka, s tim što je pre par dana saopšteno da je veštačka inteligencija, model kompanije OpenAI, ponudila rešenje za Navije-Stoksove jednačine. Ova izjava čeka proveru vodećih savremenih matematičara.

Genijalnost Grigorija Perelmana

Upravo jedini rešeni hiljadugodišnji problem ponudio je svetu još jednu atraktivnu ne samo naučnu, već i medijsku priču. Poenkareovu teoremu, jedan od sedam zadataka, rešio je ruski matematičar Grigorij Perelman. Učinio je to baš naučnički ekscentrično. Na internetu je postavio tri svoja rada koja nisu imala klasičnu formu naučnog, niti su poslata nekom specijalizovanom, relevantnom časopisu. Drugi matemaričari su godinama proveravali njegove zaključke i presudili da je ovaj složeni problem zaista rešen.

Sam Perelman je i pre i posle rada kojim se upisao u istoriju odabrao duboku anonimnost. Nagradu od milion dolara je odbio, baš kao i kasniju Fildsovu medalju, priznanje koje u svetu matematike ima značaj Nobelove nagrade, a takođe nosi i ogromnu finansijsku dobit. U nekom od izuzetno retkih i davnih javnih nastupa Rus je rekao da ispravan dokaz ne zahteva ničije dodatno priznanje, a takođe je iskazao i nezadovoljstvo načinom na koji se procenjuju zasluge u zajednici matematičara.

Novac koji Perelman nije prihvatio kasnije je upotrebljen za finansiranje Poenkareove katedre, programa namenjenog mladim matematičarima u Parizu.

Ma koliko ljudi ovo smatrali licemerjem, matematičari kažu da važnost Milenijumskih problemanije u milionskoj nagradi, već u činjenici da su oni prepoznati kao prepreke za ključni napredak pre svega u matematici i fizici, a posredno i u drugim oblastima nauke i života. Želja da se napravi napredak u znanju, pa i nauci, stara je koliko i ljudsko biće. Ono što je novost poslednjih godina to je da se u potrazi za svetim gralom nauke čoveku priključila i mašina. Sa kakvim rezultatom i posledicama tek ćemo videti.

LISTA MILENIJUMSKIH PROBLEMA

1. Rimanova hipoteza

Postavio: Bernhard Riman, 1859.

Najjednostavnije objašnjenje:

Prosti brojevi, kao što su 2, 3, 5, 7 i 11, osnovni su „atomi“ od kojih se grade ostali celi brojevi. Oni se pojavljuju naizgled nepravilno. Riman je otkrio da se njihov raspored može povezati sa ponašanjem jedne posebne matematičke funkcije.

Hipoteza tvrdi da se sve njene važne nule nalaze na jednoj tačno određenoj liniji. Ako je to tačno, matematičari bi dobili daleko precizniju sliku o rasporedu prostih brojeva.

Zašto je bitna:

Na njoj posredno počiva ogroman broj rezultata u teoriji brojeva. Mnoge teoreme već glase: „Ako je Rimanova hipoteza tačna, onda...“ Njeno dokazivanje bi odjednom potvrdilo čitav niz takvih rezultata.

2. Problem P protiv NP

Postavili: Stiven Kuk i Leonid Levin, nezavisno, početkom sedamdesetih godina.

Najjednostavnije objašnjenje:

Neka rešenja je veoma lako proveriti, iako ih je izuzetno teško pronaći.

Slagalica sa milionima mogućih kombinacija može zahtevati godine traženja, ali kada nam neko pokaže tačno rešenje, možda ga možemo proveriti za nekoliko sekundi. Pitanje je da li za svaki problem čije se rešenje brzo proverava postoji i način da se ono brzo pronađe.

Drugim rečima: da li je P jednako NP?

Zašto je bitan:

Odgovor bi odredio granice onoga što računari mogu efikasno da izračunaju. Posledice bi se osetile u kriptografiji, logistici, raspoređivanju resursa, dizajniranju lekova, optimizaciji i programiranju.

3. Navije–Stoksove jednačine

Poreklo: Klod-Luj Navije i Džordž Gabrijel Stoks, XIX vek.

Najjednostavnije objašnjenje:

Ove jednačine opisuju kretanje tečnosti i gasova: vode kroz cev, vazduha oko avionskog krila, morskih struja, dima, oblaka i krvi kroz krvne sudove.

Matematičari znaju da ih koriste i da na računarima dobijaju veoma korisne približne rezultate. Otvoreno pitanje je da li glatko i uredno početno kretanje u tri dimenzije uvek ostaje matematički uredno ili u nekom trenutku može da „eksplodira“, odnosno proizvede beskonačne vrednosti.

Zašto je bitan:

Problem dodiruje granicu između jednačina koje svakodnevno koristimo i onoga što zaista možemo da dokažemo o njima. Rešenje bi produbilo razumevanje turbulencije i pokazalo gde matematički model fluida ostaje pouzdan, a gde može da se slomi.

4. Hodžova hipoteza

Postavio: Vilijam Valens Daglas Hodž; proizašla je iz njegovog rada tridesetih i četrdesetih godina XX veka, a predstavljena je široj matematičkoj zajednici 1950.

Najjednostavnije objašnjenje:

Matematičari mogu da proučavaju složene oblike na dva načina: preko jednačina koje ih stvaraju i preko njihovih rupa, povezanosti i ukupne strukture.

Hodžova hipoteza pita da li se određene apstraktno otkrivene osobine takvog oblika uvek mogu objasniti stvarnim geometrijskim delovima nastalim iz algebarskih jednačina.

Zašto je bitna:

Ona pokušava da spoji algebru, geometriju i topologiju, tri velike oblasti matematike. Dokaz bi pokazao koliko se pouzdano iz jednog matematičkog jezika može preći u drugi.

5. Birčova i Svinerton-Dajerova hipoteza

Postavili: Brajan Birč i Piter Svinerton-Dajer, početkom šezdesetih godina.

Najjednostavnije objašnjenje:

Problem se bavi jednačinama koje opisuju eliptičke krive. Glavno pitanje je koliko rešenja takva jednačina ima kada tražimo racionalne brojeve, odnosno brojeve koji se mogu napisati kao razlomci.

Birč i Svinerton-Dajer otkrili su, uz pomoć ranog računara EDSAK, da bi se broj i struktura tih rešenja mogli pročitati iz ponašanja druge, povezane funkcije.

Zašto je bitna:

Eliptičke krive imaju centralno mesto u savremenoj teoriji brojeva. Pojavljuju se u dokazu Fermaove poslednje teoreme, faktorizaciji brojeva i kriptografiji. Hipoteza bi dala moćan način za utvrđivanje da li određene jednačine imaju malo, mnogo ili beskonačno racionalnih rešenja.

6. Jang–Milsova teorija i maseni procep

Postavili temelje: Čen Ning Jang i Robert Mils, 1954.

Najjednostavnije objašnjenje:

Jang–Milsova teorija je jedan od temelja fizike elementarnih čestica. Njeni proračuni izuzetno dobro opisuju stvarni svet, naročito jaku nuklearnu silu.

Problem je u tome što fizičari teoriju uspešno koriste, ali matematičari još nemaju potpun strog dokaz da njena kvantna verzija postoji na način koji se pretpostavlja. Treba dokazati i postojanje „masenog procepa“: najmanja moguća pobuda polja mora imati pozitivnu masu, iako klasična teorija počinje poljima bez mase.

Zašto je bitan:

Rešenje bi postavilo čvrstu matematičku osnovu ispod jednog od najuspešnijih delova moderne fizike.

7. Poenkareova hipoteza

Postavio: Anri Poenkare, 1904.
Rešio: Grigorij Perelman, radovima iz 2002. i 2003. godine.

Najjednostavnije objašnjenje:

Gumena traka postavljena oko jabuke može da se skuplja sve dok ne postane tačka. Traka obmotana oko krofne može da se zaglavi oko njene rupe.

Poenkare je pitao da li je zatvoreni trodimenzionalni prostor u kojem svaka moguća petlja može da se skupi u tačku u suštini trodimenzionalna sfera. Ta „trodimenzionalna sfera“ nije obična lopta, već višedimenzionalni matematički objekat koji ne možemo neposredno da vidimo.

Zašto je bila bitna:

Problem je bio ključan za razumevanje i klasifikaciju trodimenzionalnih prostora. Perelman je u postupku dokaza rešio i širu Tarstonovu hipotezu o geometrizaciji, koja pokazuje kako se trodimenzionalni prostori mogu rastaviti na standardne geometrijske delove.

Objašnjenje Milenijumskih problema pripremila veštačka inteligencija (ChatGPT, model Sol 5.6)